Критерий на Кели

Джин Л. Кели - МладшиВ теорията на вероятностите, Критерият на Кели / Стратегията на Кели; Формулата на Кели; Залогът на Кели/ е формула, която се използва, за да се открие оптималния размер на серия от залози. В повечето залагания и някои инвестиционни ходове, под някои опростени допускания, стратегията на Кели се справя по-добре от всяка друга напълно различна стратегия, приложена в дълъг период.

Тя е описана от Дж.Л.Кели – младши през 1956г. Като част от труда му : Bell System Technical journal. Едуард О. Торп демонстрира практическото приложение на формулата през 1961г. Адресирано към Американското математическо общество, а по-късно и упоменато в книгите му : Beat the Dealer (отнасяща се за хазарта) и Beat the Market (написана заедно с Шийн Касауф, отнасяща се за инвестирането).

Въпреки, че стратегията на Кели е обещаваща в това да се справи по-добре от всяка друга някои икономисти се обявяват твърдо против нея, основно заради идеята, че тя подкрепя индивидуалните инвестиции, но така застрашава от замяна на желанията за оптимален темп на растеж. Шаблонната алтернатива е практическата теория, според която залозите трябва да се оразмеряват така че да максимизират очакванатаа полза от крайния резултат ( за отделния човек – с логаритмична полза, залогът на Кели максимизира ползата, т.е. няма сблъсък на интереси). Дори поддръжниците на Кели обикновено спорят относно дробта на Кели ( той използва константна обикновена дроб за залаганията) заради много практически причини. Такива например са желанието да се намали изменчивостта, защитаване от неустановими грешки в крайните изчисления.

През последните години Кели става част от основното течение на инвестиционната теория и това се потвърждава от факта, че добре познати успешни инвеститори като Уорън Бъфет и Бил Грос исползват методите на Кели. Уилиам Паундстоун описва подробно историята на Залозите на Кели в “Съдбата на формулата / “Fortune’s Formula” / .

Изразяване

За прости залози с два резултата – единият предполага загуба на целия залог, а другия залогът да се мултиплицира от крайните коефициенти. Залогът на Кели е :

0

  • f* е частта от текущите заложени пари;
  • b са нетните коефициенти, получени от облога ( при това коефициентите се записват като “ b към 1”)
  • p е вероятността за печалба
  • q е вероятността за загуба, която е 1-p

Като пример може да се даде следното: Ако една игра има шанс за печалба 60% (p=0.60, q=0.40), но залагащия получи 1 към 1 коефициент на печелившия залог (b=1), тогава той трябва да заложи 20% от сумата на всяка възможност (f* = 0.20), за да максимизира дългосрочния растеж на заложените си пари.
Ако шансовете на залагащия обаче са нулеви, например b=p/q, тогава критерия ще му показва да не залага нищо. Въпреки това в по-сложни ситуации, където например подценен фаворит в конно състезание може да си струва покритието на залога за подсигуряване, въпреки че печелившият такъв е за друг състезателен кон. Тогава ще е правилно да се направи залог, за да се осигури най-добрия сложен процент на възвращаемост. Ако коефициентът е отрицателен (b< q/p) формулата дава отрицателен резултат, отчитайки че залагащия трябва да промени залога си точно наобратно. Например: в стандартната американска рулетка, на този, който залага му се предлага равен финал ,т.е. b=1, на червено, когато има 18 червени числа и 20 не-червени числа (p=18/38). Залогът на Кели е -1/19, това значи че залагащият трябва да избере една деветнайста от залога си ,че червеното няма да излезе. За нещастие, казиното задържа този залог за себе си, така че залагащия по стратегията на Кели няма да играе.

За залози, когато b=1 формулата може да се опрости до :

1

И щом p=1-q може да се доопрости и до следното:

2

Доказателството

Когато b=1, играчът според Кели залага 2p-1 пъти първоначални пари – W, както е показано. Ако печели, получава 2pW, а ако загуби – 2(p-1)W. Нека предположим, че той прави N залагания като това и печели K от тях. Редът от печалби и загуби в случая нямат значение, в крайна сметка ще имаме:

3

Ако предположим сега, че друг играч залага различно количество – (2p-1 + ∆)W за някои положителни или негативни ∆(изменения). Той ще има (2p + Δ)W след печалба и [2(1 – p)- Δ]W след загуба. След тези печалби и загуби играчът според Кели ще има:

4

Вземаме производната на това по отношение на изменението ∆ и получаваме:

5

Това се приравнява на 0, ако:

6

Което включва в себе си:

7

Но:

9

Така че в дълъг период крайното състояние се максимизира чрез привеждане на измененията (Δ) към 0, което означава че се следва стратегията на Кели.
Това илюстрира, че Кели има както детерминистичен, така и стохастичен компонент. Ако знаеш K и N и трябва да избереш постоянно съотношение на парите си, които залагаш всеки път, ще приключиш с най-много пари ако залагаш : 10всеки път. Това е валидно без значение дали N е голямо или малко число. Частта с “дългия период” при Кели е необходима, защото не знаем K предварително, и когато N нараства, K ще достигне pN. Някой, който залага повече от Кели би се справил по-добре ако K>pN за кратко време. Друг, който залага по-малко от Кели ще се справи по-добре при K
Причини да залагате по-малко от Кели
Естествено допускане е, че поемането на повече риск увеличава възможността едновременно от много лоши или много добри резултати. Една от най-важните идеи на Кели е, че залагайки повече от колкото Кели се намалява възможността от много добри резултати, докато се увеличава тази за много лоши резултати. Реално ние рядко знаем точните възможности или крайни резултати и докато “залагането в повече” е по-лошо от “залагането по-малко”, това дава смисъл да се заблуждаваме осланяйки се на предпазливостта си, т.е. да залагаме по-малко от количеството залози на Кели.
Кели приема, че следващите залози са независими . Това може би се явява добър модел за хазартните игри, но като цяло не може да се приложи при инвестирането и други форми на поемане на риск. Да предположим, че на инвеститор са му предложени 10 различни залога с 40% шанс за печалба и 2 към 1 краен резултат ( това е примера, който използвахме по-горе). Взимайки предвид залозите един по един, Кели би заложил 10% на всеки от тях, което означава, че състоянието на инвеститора е изцяло изложено на риск. Този риск разоряваа, особено ако крайните резултати от залозите са в съотношение.
Имуществото на Кели се разглежда в дълъг период. За един човек има значение дали се трупа от дузина залози, трильони залози или повече. Това дава основание да се взима под внимание не само дългият период, но и къде губенето на залог може да те извади от игра за кратко, а и в среден период как се отразява това. Свързващата точка е, че Кели счита за важно единствено дългосрочното богатство. Повечето хора също се интересуваат основно от това да стигнат до него. Двама дупи умират с еднакво количество пари, това не означава, че са имали еднакво щастлив живот. Залозите на Кели водят до изключително бързи краткосрочни резултати, които повечето хора намират за много неприятни, въпреки че смятат, че накрая ще се справят добре.
Едно от най-нереалистичните допускания на Кели е че богатството е едновременно целта и крайния предел на това, което можеш да заложиш. Повечето хора не биха могли да заложат цялото си богатство, например: незаконно е да залагаш себе си ( човешкия капитал),т.е. не може да се продаваш в робство. От друга страна, хората могат да залагат пари, които дори не притежават – чрез вземане на заем. Човек, на който му е позволено да залага повече състояние, отколкото притежава може да избере да залага повече от Кели. Докато някой, който му е позволено да залага доста по-малко от собственото му състояние е принуден да залага по-малко от Кели.

Берноули
През 1738г. Даниел Берноули предлага това, че когато имаш избор да залагаш или да инвестираш трябва да избереш варианта с най-високо геометрично значение за резултатите. Това математически се равнява на Критерия на Кели, въпреки, че мотивацията е напълно различна. (Берноули се мъчи да разреши парадокс на Санкт Петебург по онова време). Статията му не се превежда на английски до 1956г., но работата му е добре позната сред математици и икономисти.

Семпъл калкулатор можете да намерите тук: Критерий на Кели – Калкулатор

Повече информация за метода на Кели :

Публикувано на 20 April, 2009, от Станислав Колев
Харесва ти това, което четеш ? Можеш да се абонираш, чрез RSS или безплатен бюлетин по e-mail !

2 Коментара за “Критерий на Кели”

#1 Стефан на 4 May, 2009 в 3:03 pm

Е не разбирам как този метод може да се следва при футболните залози. Как определяме вероятноста за изхода на мача?
Ако вероятността се определя от инструмента на вероятностите спрямо коефициентите то винаги е неразумно спрямо критерия да се залага…
Разяснете малко повече за приложението

#2 Станислав Колев на 5 May, 2009 в 10:10 pm

В общо линии критерия на Кели е метод за управление на парите, той определя сумата която да заложиш, а не на какъв двубой да заложиш. Вероятността за изход я определяш ти. В случая Калкулатора за преобразвуне на коефициенти във вероятности няма нищо общо с търсената вероятност тук.
Ето пример за приложението на Критерия на Кели: “Модификация на Кели




Свързани статии :
    Няма нищо свързано с темата
Предишна статия/прогноза : Следващата статия/прогноза : Десетте най-скъпи футболни трансфера Кливлънд Кавалиърс – Детройт Пистънс, двубой N2
Последни прогнози
  • ПСЖ – Байерн Мюнхен | Шампионска Лига | Група B |Сряда | 21:45
  • Борусия Дортмунд – Реал Мадрид | Шампионска Лига | Група H | Вторник | 21:45
  • Хановер – Кьолн | Бундеслига | Неделя | 16:30
  • Саутхямптън – Манчестър Юнайтед | Премиършип | Събота | 17:00
  • Шалке – Байерн Мюнхен | Бундеслига | Вторник | 21:30
  • Полезни ресурси Prognozi.com Актуални прогнози
  • Дортмунд - Реал Мадрид
  • П.С.Ж. - Байерн Мюнхен
  •